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Beschleunigung der SINC-Interpolation

IP.com Disclosure Number: IPCOM000017115D
Original Publication Date: 1999-Oct-01
Included in the Prior Art Database: 2003-Jul-22
Document File: 3 page(s) / 26K

Publishing Venue

Siemens

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Stefan Thesen: AUTHOR

Abstract

Für eine Verschiebung, Drehung oder Verzerrung von diskreten Datensätzen, beispielsweise einem Bilddatensatz, sind Interpolationen durchzuführen. Dabei liefert beispielsweise die sogenannte SINC-Interpolation gute Ergebnisse.

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Gesundheit

Beschleunigung der SINC-Interpolation

Idee: Stefan Thesen, Meckenheim

Für eine Verschiebung, Drehung oder Verzerrung von diskreten Datensätzen, beispielsweiseeinem Bilddatensatz, sind Interpolationen durchzuführen. Dabei liefert beispielsweise diesogenannte SINC-Interpolation gute Ergebnisse.

Zur Bestimmung von nicht im Diskretisierungsraster liegenden Punkten faltet die SINC-Interpolation einen vorhandenen diskreten Datensatz mit einer passenden SINC-Funktion. Fürden eindimensionalen (Beispiel-) Fall wird die SINC-Interpolation zur Berechnung einesbeliebigen Funktionswertes f(t) aus einem eindimensionalen diskreten Datensatz f A (  n×D  t), deretwa aus einer Anzahl von Abtastwerten besteht, durch folgende, eine Faltung ausführendeGleichung beschrieben:

f(t)

=

å

n

-n

A

f

(

n

×

?t)

×

sinc

æ ×n

t

-

×

ö

÷ø

çè

p

mit        n    Π     Z    (1)

n

=

?t

?t

Dabei ist die SINC-Funktion definiert als

x

sin(x)

(x)sinc :=

Der Wert von n gibt die Größe des Faltungskerns und damit die Güte der Interpolation an. Füroptimale Ergebnisse müßte n =   ¥   sein. Dies ist in der Praxis nicht realisierbar. Deswegen wird inder Praxis obige Gleichung um eine Fensterfunktion ergänzt. Die Fensterfunktion übt dabei eineArt von Tiefpaßfilterfunktion aus, damit quasi hochfrequente Überschwinger, die aus demAbschneiden der SINC-Funktion auf eine endliche Länge entstehen, unterdrückt werden.

Üblicherweise wird dazu die sogenannte Hanning-Fensterfunktion eingesetzt, die definiert ist als

f

1 ( )

Hanning

(x)

:

=

1

+

cos(

p

×

x)

2

Damit wird o.g. Gleichung (1) wie folgt erweitert:

å

n

-n

A

f

æ ×n

t

-

×

f(t)

=

ö

÷ø

1

2

æ n

×

?t

?t

n

(

n

×

?t)

×

sinc

çè

p

×

çèæ

1

+

cos

ö

çè

p

÷ø

÷øö

(2)

n

=

Zur Durchführung der Interpolation wird bisher die Gleichung (2) beispielsweise auf einemRechnersystem direkt ausgewertet. Dabei sind für jeden zu faltenden Punkt   n   zweitrigonometrische Funktionen zu berechnen. Die Berechnung von trigonometrischen Funktionen istauf Rechnersystemen zeitaufwendiger als die Ausführung von Grundrechenarten und logischenOperationen.

Siemens Technik Report

Jahrgang 2  Nr. 5  Oktober 1999

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Die Beschleunigung der SINC-Interpolation wird im folgenden anhand von Umformungen derGleichung (2) erläutert. In anderer Darstellung lautet Gleichung (2):

æ

t

?t

n

f(t) å

-

sin

?t)

ö

çè

p

p

-

p

n

×

÷ø

1

2

=

ö

f

A

t

?t

(

n

×

×

×

çèæ ÷

ø

÷øö

1

+

cos

æ n

×

çè

p

(3)

n

=

n

p

-

×

n

n

Mit Umformung der Sinusfunktion ergibt sich:

nsi

?t)

æ p

×

ö

çè

÷ø

×

cos

?t

t

( )

p

n

×

-

cos

æ p

ö

çè

÷ø

×

( )

sin

?t

×

p

n

×

t

f(t)

=

å

n

-n

A

f

(

n

×

×

1

2

æ n

×

t

?t

çèæ

1

+

cos

ö

çè

p

n

÷ø

÷øö

(4)

n

=

p

-

p

n

×

Dabei ist sin(  p×n  ) = 0 für alle   n   und der Ausdruck cos(  p×n  ) kann durch die Exponentialfunktion(-1)   n     ersetzt werden. Damit kann die Gleichung (4) vereinfacht werden:

f(t)

æ p

ö

çè

×

å

n

-n

A

f

t

?...